ch2-6 微分器

微分器

目标：$Uo(t)=k\cfrac{dui(t)}{dt}$

即输出与输入的微分成正比，微分是积分的逆运算。

微分器电路

(A)时域分析

由于微分和积分是互逆的关系，所以把反相输入端的电容和反馈网络中电阻的位置互换即是，微分器电路，分析与积分器相似：
$$U_o(t)=-U_R(t)=-i_R(t)R$$
$$i_R(t)=i_c(t)=C\cfrac{dUc(t)}{dt}$$
$$Uo(t)=-RC\cfrac{dUi(t)}{dt}=-\tau \cfrac{dUi(t)}{dt}$$
(B)频域分析
$$Au(j\omega)=\cfrac{Uo(j\omega)}{Ui(j\omega)}=-j\omega RC=-j\omega\tau$$
因为是反相输入端，抵消一个负号，所以是 j，超前90度

1. 相位超前90度
2. 增益的模 $|Au(j\omega)|=\omega RC$
3. 有个结论：频率越高增益越大，且有一个90度的超前相移。

   微分器的高频增益

   由于电容是通高频，阻低频，所以，若干反相输入端有高频信号（高频噪声）输入，电容相当于是短路，高频信号会被反相放大，影响正常输出信号。

   解决方法

4. 在反相端电容的前面加一个小电阻$R_2$，要远远小于反馈网络中的负载电阻Rf阻值：
   $$A_u(j\omega)=\cfrac{U_o(j\omega)}{U_i(j\omega)}=-\cfrac{R}{R_2+\cfrac{1}{j\omega C}}=-\cfrac{j\omega RC}{1+j\omega R_2C}$$

   当$R_2$非常小的时候，可以忽略，就相当于$-j\omega RC$

5. 因为高频噪声的原因，所以微分器通常在工程中会被积分器所取代，通过解微分方程就可以，举课上面的例子：
   $$\cfrac{d^2U_o(t)}{dt^2}+10\cfrac{dU_o(t)}{dt}+2U_o(t)=Ui(t)$$
   $$\cfrac{dU_o(t)}{dt}=\int[u_i(t)-10\cfrac{dU_o(t)}{dt}-2U_o(t)]dt$$
   $$U_o(t)=\iint U_i(t)dt-2\iint U_o(t)dt-10\int U_o(t)dt$$

   微分器实验

6. 三角波方波变化

   微分嘛，三角波下降的时候，斜率不变且小于0，即 $\cfrac{U_i(t)}{dt}<0$,和前面负号抵消，所以是输出高电平，同理，三角波上升时，斜率不变且大于0，即 $\cfrac{U_i(t)}{dt}>0$,前面加一个负号，所以输出低电平，最后输出的是方波。

7. 方波变化尖脉冲

   输入方波为高低电平的时候，输入电平没有变化，斜率为0，高低电平直接是突变，斜率变化很大，所以有个尖脉冲。

2020.2.21